已知三角形abc中，ab等于cb d在ac上 且ab等于ad，角abc等于108度，过a作ae平

三角形ABC中 角BAC=90度 D是BC中点 AE垂直AD, AE交CB延长线于点E~

证明：1、因角BAC=90度，AE垂直AD, AE交CB延长线于点E，
所以角EAB=角CAD。
又因角BAC=90度 D是BC中点，所以角C=角CAD。
所以角EAB=角ECA（角C）。
因角E为公共角，所以。
2、三角形ABE和三角形ADC一定相似。
因三角形EAB相似于三角形ECA，所以角EAB=角ECA=角DCA。
因AD为直角三角形的中线，所以BD=AD。所以角DBA=角DAB。
又因角EBA=角BDA+角BAD=角BDA+角BAD=角ADC，
所以三角形ABE和三角形ADC一定相似。

证：作AF⊥BC于F，取AD中点G，连接FG
∵△BDE中，BD=DE，∠D=60°
∴△BDE是等边三角形（有一个60°角的等腰三角形是等边三角形）
∴BD=DE=BE （等边三角形各边相等）

∵AB=AC，AF⊥BC
∴BF=FC，∠AFB=90°

∵△AFD中，∠AFD=90°，FG是斜边中线
∴FG=½AD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
∴DG=AG=½AD
∴DG=AG=GF

∵△GFD中，∠D=60°，GD=GF
∴△DFG是等边三角形（有一个60°角的等腰三角形是等边三角形）
∴DG=DF=GF=AG （等边三角形各边相等）
∴DG-DE=DF-DB
即EG=BF
∴EG=BF=FC

∴AE=AG+GE
=DF+FC
=DB+BF+FC
=BE+BC

AC和BE交点是K
∠BAC=∠BCA=36°
∠ABD=∠ADB=72° 所以∠ABK=∠KBD=36°
所以AK=BK
又∠KAE=∠BCA=36°=∠KBD
∠AKE=∠BKD
所以△AKE≌△BKD
所以AK=BK KE=KD
所以AD=AK+KD=BK+KE=BE
BE=AD=AB=AC
所以△BCE是等腰三角形，又∠EBD=∠CBD=36°
所以BD垂直平分EC