【十分钟 机器学习 系列课程】讲义（49）：SVM 非线性支持向量机 正定核函数的充要条件和常用的和函数

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欢迎来到机器学习的神奇世界，本节我们将深入探讨SVM（支持向量机）中的非线性处理，特别是通过正定核函数来扩展模型的表达能力。首先，让我们明确一个关键概念：一个函数被称为正定核的，当且仅当它所对应的Gram矩阵具备半正定性，这对于理解核方法的数学基础至关重要。

核心原理</: 正定核的判定条件 —— 一个函数若能保证其对应的Gram矩阵每一项都非负，即对任意向量，<v, K(v, v')>总是非负，这样的函数便满足正定性。这样的特性使得我们能在低维空间构建出高维的“映射”空间，从而解决非线性问题。

接下来，我们来看看两种常用的核函数，它们是构建非线性SVM的强大工具：

1. 多项式核函数</:
多项式核（如 K(x, x') = (γ(<x, x'> + r)^d)），其中 γ 是缩放因子，r 是偏置项，d 是多项式的阶数。多项式核在决策函数中表现为复杂的曲线拟合，如 f(x) = ∑_i α_i (γ(<x, x_i> + r)^d)。
2. 高斯核函数</ 或称 高斯核（RBF，Radial Basis Function）</:
高斯核（K(x, x') = exp(-γ||x - x'||^2)），通过衡量两个样本间的欧氏距离并应用指数衰减，它在文本分类等离散数据处理中非常有效。决策函数为 f(x) = ∑_i α_i exp(-γ||x - x_i||^2)，生成的是基于高斯分布的分类器。

在处理文本数据时，比如进行文本相似度分析，我们常采用衰减参数的幂函数核，它根据字符串中特定字符组合的出现频率进行权重赋值。

字符串映射的魔法</:
当我们将字符串映射到希尔伯特空间时，一个简单的例子是“big”可以表示为7维向量，其中bi和bg的长度均为2。未出现的字符长度记为0。通过幂函数（如 ||x||^p）来计算向量的内积，从而衡量两个字符串的相似度，余弦相似度便是常用的度量工具。

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